euclid1

Euclid (M.. 325 – M.. 265)

Rönesans sonrası Avrupa’da, Kopernik’le balayan, Kepler, Galileo ve Newton’la 17. yüzyılda doruuna ulaan bilimsel devrim, kökleri Helenistik döneme uzanan bir olaydır. O dönemin seçkin bilginlerinden Aristarkus, güne-merkezli astronomi düüncesinde Kopernik’i öncelemiti; Arimet yaklaık iki bin yıl sonra gelen Galileo’ya esin kaynaı olmutu; klid çalar boyu yalnız matematik dünyasının deil, matematikle yakından ilgilenen hemen herkesin gözünde özenilen, yetkin bir örnekti. klid, M.. 300 sıralarında yazdıı 13 ciltlik yapıtıyla ünlüdür.

Bu yapıt, geometriyi (dolayısıyla matematii) ispat balamında aksiyomatik bir dizge olarak ileyen, ilk kapsamlı çalımadır. 19. yüzyıl sonlarına gelinceye kadar alanında tek ders kitabı olarak akademik çevrelerde okunan, okutulan Elementler’in, kimi yetersizliklerine karın, deerini bugün de sürdürdüü söylenebilir .
Egeli matematikçi klid’in kiisel yaamı, aile çevresi, matematik dıı ura veya meraklarına ilikin hemen hiçbir ey bilinmemektedir. Bilinen tek ey; Iskenderiye Kraliyet Enstitüsü’nde dönemin en saygın öretmeni; alanında yüzyıllar boyu esiz kalan bir ders kitabının yazarı olmasıdır. Eitimini Atina’da Platon’un ünlü akademisinde tamamladıı sanılmaktadır. O akademi ki giri kapısında, ”Geometriyi bilmeyen hiç kimse bu kapıdan içeri alınmaz!” levhası asılıydı.
klid’in bilimsel kiilii, unutulmayan iki sözünde yansımaktadır: Dönemin kralı I. Ptolemy , okumada güçlük çektii Elementler’in yazarına, “Geometriyi kestirmeden örenmenin yolu yok mu” diye sorduunda, klid “zür dilerim, ama geometriye giden bir kral yolu yoktur” der. Bir gün dersini bitirdiinde örencilerinden biri yaklaır, ”Hocam, verdiiniz ispatlar çok güzel; ama pratikte bunlar neye yarar” diye sorduunda, klid kapıda bekleyen kölesini çaırır, “Bu delikanlıya 5-10 kuru ver, vaktinin boa gitmediini görsün!” demekle yetinir .
klid haklı olarak “geometrinin babası” diye bilinir; ama geometri onunla balamı deildir. Tarihçi Herodotus (M.. 500) geometrinin balangıcını, Nil vadisinde yıllık su tamalarından sonra arazi sınırlarını belirlemekle görevli kadastrocuların çalımalarında bulmutu. Geometri “yer” ve “ölçme” anlamına gelen “geo” ve “metrein” sözcüklerinden oluan bir terimdir. Mısır’ın yanı sıra Babil, Hint ve in gibi eski uygarlıklarda da gelien geometri o dönemlerde büyük ölçüde, el yordamı, ölçme, analoji ve sezgiye dayanan bir yıın ilem ve bulgudan ibaret çalımalardı. stelik ortaya konan bilgiler çounlukla kesin olmaktan uzak, tahmin çerçevesinde kalan sonuçlardı. rnein, Babilliler dairenin çemberini çapının üç katı olarak biliyorlardı.

Bu öylesine yerleik bir bilgiydi ki; pi’ nin deerinin 3 deil, 22/7 olarak ileri sürenlere, bir tür arlatan gözüyle bakılıyordu. Mısırlılar bu konuda daha duyarlıydılar: M.. I800 yıllarına ait Rhind papürüslerinde onların pi’yi yaklaık 3.1604 olarak belirledikleri görülmektedir; ama Mısırlıların bile her zaman doru sonuçlar ortaya koyduu söylenemez. Nitekim, kesik kare piramidin oylumunu (hacmini) hesaplamada doru formülü bulan Mısırlılar, dikdörtgen için doru olan bir alan formülünün, tüm dörtgenler için geçerli olduunu sanıyorlardı.
Aritmetik ve cebir alanında Babilliler , Mısırlılardan daha ilerde idiler. Geometride de önemli buluları vardı. rnein, “Pythagoras Teoremi” dediimiz, bir dik açılı üçgende dik kenarlarla hipotenüs arasındaki baıntıya ilikin önerme “bir dik üçgenin dik kenar karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eittir” bulularından biriydi. Ne var ki, doru da olsa bu bilgiler ampirik nitelikteydi; mantıksal ispat aamasına geçilmemiti henüz. Ege’ li Filazof Thales’in (M.. 624-546), geometrik önermelerin dedüktif yöntemle ispatı gereini ısrarla vurguladıı, bu yolda ilk adımları attıı bilinmektedir . Mısır gezisinde tanıtıı geometriyi, daınıklıktan kurtarıp, tutarlı, salam bir temele oturtmak istiyordu. İspatladıı önermeler arasında . ikizkenar üçgenlerde taban açılarının eitlii; kesien iki dorunun oluturduu karıt açıların birbirine eitlii vb. ilikiler vardı.
Klasik çaın “yedi Bilgesi” nden biri olan Thales’in açtıı bu yolda, Pythagoras ve onu izleyenlerin elinde, matematik büyük ilerlemeler kaydetti, sonuçta Elementler’de ilenildii gibi, oldukça soyut mantıksal bir dizgeye ulatı. Pythagoras, matematikçiliinin yanı sıra, sayı mistisizmini içeren gizlilie balı bir tarikatın önderiydi. Buna göre; sayısallık evrensel uyum ve düzenin asal niteliiydi; ruhun yücelip tanrısal kata erimesi ancak müzik ve matematikle olasıydı.

Bulu ve ispatlarıyla matematie önemli katkılar yapan Pythagorasçılar , sonunda inançlarıyla ters düen bir bulula açmaza dütüler. Bu bulu, karenin kenarı ile köegenin ölçütürülemeyeceine ilikindi. kök 2 gibi, bayaı kesir eklinde yazılamayan sayılar , onların gözünde gizli tutulması gereken bir skandaldı. Rasyonel olmayan sayılarla temsile elveren büyüklükler nasıl olabilirdi (Pythagorasçıların tüm çabalarına karın üstesinden gelemedikleri bu sıkıntıyı, daha sonra tanınmı bilgin Eudoxus oluturduu, irrasyonel büyüklükler için de geçerli olan, Orantılar Kuramı’yla giderir).

klid, Pythagoras geleneine balı bir ortamda yetimiti. Platon gibi, onun için de önemli olan soyut düünceler , düünceler arasındaki mantıksal baıntılardı. Duyumlarımızla içine dütüümüz yanlılıklardan, ancak matematiin saladıı evrensel ilkeler ve salt ussal yöntemlerle kurtulabilirdik. Kaleme aldıı Elementler, kendisini önceleyen Thales, Pythagoras, Eudoxus gibi, bilgin-matematikçilerin çalımaları üstüne kurulmutu. Geometri bir önermeler koleksiyonu olmaktan çıkmı, sıkı mantıksal çıkarım ve baıntılara dayanan bir dizgeye dönümütü. Artık önermelerin doruluk deeri, gözlem veya ölçme verileriyle deil, ussal ölçütlerle denetlenmekteydi. Bu yaklaımda pratik kaygılar ve uygulamalar arka plana itilmiti.
Kukusuz bu, klid geometrisinin pratik problem çözümüne elvermedii demek deildi. Tam tersine, deiik mühendislik alanlarında pek çok problemin, bu geometrinin yöntemiyle çözümlendii; ama Elementler’in, ereti olarak deindii bazı örnekler dıında, uygulamalara yer vermedii de bilinmektedir. klid’in pratik kaygılardan uzak olan bu tutumunun matematik dünyasındaki izleri, bugün de rastladıımız bir gelenee dönümütür.
Gerçekten, özellikle seçkin matematikçilerin gözünde, matematik u ya da bu ie yaradıı için deil, yalın gerçee yönelik, sanat gibi güzellii ve deeri kendi içinde Soyut bir düün uraı olduu için önemlidir.
Matematiin tümüyle ussal bir etkinlik olduu doru deildir. Bulu balamında tüm dier bilimler gibi matematik de, sınama-yanılma, tahmin, sezgi, içedou türünden öeler içermektedir. Yeni bir baıntıyı sezinleme, deiik bir kavram veya yöntemi ortaya koyma, temelde mantıksal olmaktan çok psikolojik bir olaydır. Matematiin ussallıı, dorulama balamında belirgindir. Teoremlerin ispatı, büyük ölçüde kuralları belli, ussal bir ilemdir; ama u sorulabilir: klid neden, geometrinin ölçme sonuçlarıyla dorulanmı önermeleriyle yetinmemi, bunları ispatlayarak, mantıksal bir dizgede toplama yoluna gitmitir
klid’i bu giriiminde güdümleyen motiflerin ne olduunu söylemeye olanak yoktur; ancak, Helenistik çaın düün ortamı göz önüne alındıında, balıca dört noktanın öngörüldüü söylenebilir:
1) İlenen konuda çou kez belirsiz kalan anlam ve ilikilere açıklık getirmek;
2) İspatta bavurulan öncülleri (varsayım, aksiyom veya postulatları) ve çıkarım kurallarını belirtik kılmak;
3) Ulaılan sonuçların doruluuna mantıksal geçerlik kazandırmak (Baka bir deyile, teoremlerin öncüllere görecel zorunluluunu, yani öncülleri doru kabul ettiimizde teoremi yanlı sayamayacaımızı göstermek);
4) Geometriyi, ampirik genellemeler düzeyini aan soyut-simgesel bir dizge düzeyine çıkarmak (Bir örnekle açıklayalım: Mısırlılar ile Babilliler kenarları 3, 4, 5 birim uzunluunda olan bir üçgenin, dik üçgen olduunu deneysel olarak biliyorlardı; ama bu ilikinin 3, 4, 5 uzunluklarına özgü olmadıını, baka uzunluklar için de geçerli olabileceini gösteren veriler ortaya çıkıncaya dek kestirmeleri güçtü; buna ihtiyaçları da yoktu.

yle kuramsal bir açılma için pratik kaygılar ötesinde, salt entellektüel motifli bir arayı içinde olmak gerekir. Nitekim, Egeli bilginler somut örnekler üzerinde ölçmeye dayanan belirlemeler yerine, bilinen ve bilinmeyen tüm örnekler için geçerli soyut genellemeler arayıındaydılar. Onlar, kenar uzunluklan a, b, c diye belirlenen üçgeni ele almakta, üçgenin ancak a2+b2=c2 eitlii gerçekletiinde dik üçgen
olabilecei genellemesine gitmektedirler).
klid oluturduu dizgede birtakım tanımların yanı sıra, bei “aksiyom” dedii genel ilkeden, bei de “postulat” dedii geometriye özgü ilkeden oluan, on öncüle yer vermitir (ncüller, teoremlerin tersine ispatlanmaksızın doru sayılan önermelerdir).

Dizge tüm yetkin görünümüne karın, aslında çeitli yönlerden birtakım yetersizlikler içermekteydi. Bir kez verilen tanımların bir bölümü (özellikle, “nokta”, “doru”, vb. ilkel terimlere ilikin tanımlar) gereksizdi. Sonra daha önemlisi, belirlenen öncüller dıında bazı varsayımların, belki de farkında olmaksızın kullanılmı olması, dizgenin tutarlılıı açısından önemli bir kusurdu.

Ne var ki, matematiksel yöntemin oluma içinde olduu balangıç döneminde, bir bakıma kaçınılmaz olan bu tür yetersizlikler, giderilemeyecek eyler deildi. Nitekim, l8. yüzyılda balayan eletirel çalımaların dizgeye daha açık ve tutarlı bir bütünlük saladıı söylenebilir. stelik dizgenin irdelenmesi, beklenmedik bir gelimeye de yol açmıtır: ncüllerde bazı deiikliklerle yeni geometrilerin ortaya konması. “klid-dıı” diye bilinen bu geometriler, saduyumuza aykırı da düseler, kendi içinde tutarlı birer dizgedir.

klid geometrisi, artık var olan tek geometri deildir. yle de olsa, klid’in düünce tarihinde tuttuu yerin deitii söylenemez.

aımızın seçkin filozofu Bertrand Russell’ın u sözlerinde klid’in özlü bir deerlendirmesini bulmaktayız: ‘”Elementler’e bugüne dein yazılmı en büyük kitap gözüyle bakılsa yeridir. Bu kitap gerçekten Grek zekasının en yetkin anıtlarından biridir. Kitabın Greklere özgü kimi yetersizlikleri yok deildir, kukusuz: dayandıı yöntem salt dedüktif niteliktedir; üstelik, öncüllerini oluturan varsayımları yoklama olanaı yoktur. Bunlar kuku götürmez apaçık dorular olarak konmutur. Oysa, 19.yüzyılda ortaya çıkan klid-dıı geometriler, bunların hiç deilse bir bölümünün yanlı olabileceini, bunun da ancak gözleme bavurularak belirlenebileceini göstermitir.”

Gene Genel Rölativite Kuramı’nda klid geometrisini deil, Riemann geometrisini kullanan Einstein’ın, Elementler’e ilikin yargısı son derece çarpıcıdır: “Gençliinde bu kitabın büyüsüne kapılmamı bir kimse, kuramsal bilimde önemli bir atılım yapabilecei hayaline bouna kapılınasın!”